解析函数的和、积与复合仍是解析函数（惟合成时须留意定义域的问题）。
若解析函数在一个开集上非零，则它在该开集上的倒数仍为解析函数。若一个可逆解析函数的导函数处处不为0，则其反函数也是解析函数。
凡解析函数皆属光滑函数，即无穷可微。逆命题对实解析函数不成立。实际上，在某种意义上，实解析函数相比于实光滑函数是很稀少的。对复函数，逆命题确实成立，实际上任何一次可微的复函数都是解析的。
对任何开集
Ω
⊆
C
{\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }
，所有解析函数组成的集合
A
(
Ω
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}(\Omega )}
是弗雷歇空间（关于紧集上的一致收敛）。由莫雷拉定理易得解析函数在紧集上的一致极限仍是解析函数。全部的有界解析函数
A
∞
(
Ω
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{\infty }(\Omega )}
关于上确界范数构成巴拿赫空间。
事实上，假设所论解析函数皆可在原点附近一开集
B
(
0
,
r
)
:=
{
x
:
|
x
|
<
r
}
{\displaystyle B(0,r):=\{x:|x| 上表示为幂级数，则上述运算可以形式地操作： ∑ i ≥ 0 a i x i + ∑ i ≥ 0 b i x i = ∑ i ≥ 0 ( a i + b i ) x i {\displaystyle \sum _{i\geq 0}a_{i}x^{i}+\sum _{i\geq 0}b_{i}x^{i}=\sum _{i\geq 0}(a_{i}+b_{i})x^{i}} ∑ i ≥ 0 a i x i ⋅ ∑ j b j x j = ∑ k ≥ 0 ( ∑ i + j = k a i b j ) x k {\displaystyle \sum _{i\geq 0}a_{i}x^{i}\cdot \sum _{j}b_{j}x^{j}=\sum _{k\geq 0}(\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j})x^{k}} f ( x ) = ∑ i ≥ 0 a i x i , g ( x ) = ∑ i > 0 b i x i {\displaystyle f(x)=\sum _{i\geq 0}a_{i}x^{i},g(x)=\sum _{i>0}b_{i}x^{i}} ⇒ ( f ∘ g ) ( x ) = ∑ i ≥ 0 ( ∑ j > 0 b j x j ) i {\displaystyle \Rightarrow (f\circ g)(x)=\sum _{i\geq 0}(\sum _{j>0}b_{j}x^{j})^{i}} （定义域可能会缩小） f ( x ) = 1 − ∑ i > 0 a i x i ⇒ 1 f ( x ) = ∑ j ≥ 0 ( ∑ i > 0 a i x i ) j {\displaystyle f(x)=1-\sum _{i>0}a_{i}x^{i}\Rightarrow {\dfrac {1}{f(x)}}=\sum _{j\geq 0}(\sum _{i>0}a_{i}x^{i})^{j}} 其中每个运算结果的系数都可以写成有限的代数式。 一个非零多项式的零点数不大于它的次数，解析函数的零点也有类似的限制：若一解析函数的零点集在定义域内有极限点，则函数在包含该点的连通分支上恒为零。此外，若解析函数在一点的各阶导数皆为零，则该函数在含该点的连通分支上为常数函数。 这些性质表明：尽管解析函数比多项式有更多的自由度，它仍是一个具有相当“刚性”的数学物件。